勾股定理
欧几里得(Euclid)几何学的内容,大多是建立在毕达哥拉斯(Pythagoras)及毕氏学派的研究上,至少后人在研究古希腊的数学时,就不能不提到当时的代表性人物毕达哥拉斯。
几何学的勾股定理,又称为毕达哥拉斯定理(毕氏定理):直角三角形中的两直角边的平方和一定等于斜边的平方,也就是直角三角形斜边上的正方形面积,等于另外两边的正方形面积的总和。数学上虽然存在着各种定理,但很少有定理可以像勾股定理这样广为人知、应用广泛。后世人认为勾股定理是毕达哥拉斯发现的,至于他到底是哪国人、何时出生、何时去世,说法不一,早已无从查证。
远离家乡的毕达哥拉斯
数学史上记载着,毕达哥拉斯大约是在公元前570年出生于希腊的萨摩斯(Samos)。因为当时世界的文化中心位于埃及和巴比伦王国(Babylonia),所以毕达哥拉斯先远赴埃及求学,后来又转往巴比伦学习数学与哲学。与其说毕达哥拉斯是位数学家,不如说他是哲学家及伦理学家,他在社会改革与道德实践方面,深远地影响了当时的社会。另外,毕达哥拉斯也在和数学相关的天文学及力学方面有极深造诣,对音乐也颇有研究,因此这位多才多艺的学者深受世人爱戴。
毕达哥拉斯学成之后回到故乡萨摩斯,建了一所学校,并招揽许多听众开始演讲,不久,他和听众中的一位妇女西雅娜(Theano)结为夫妇。
有一句谚语:能预测未来的人注定要远走他乡。无论是哪个时代,先知先觉的人在故乡都会遭遇极多的反对与阻挠。毕达哥拉斯同样面临这种状况,于是他关闭学校,开始游历各地,最后远赴意大利南部的克罗顿(Croton),并定居此地。
毕达哥拉斯的秘密社团
毕达哥拉斯在克罗顿再度建立学校,但这间学校和今天的学校完全不同,算是一个秘密结社的团体。作为团体成员的弟子们,必须发誓绝不对外透露老师传授的各项数学研究,而且每位弟子在数学上有所发现或发明时,绝对不能以自己的名义对外发表,必须以老师的名义来发表。其实,毕达哥拉斯本身并不愿意坚守这样的规则,他也希望将真理公诸于世,将知识传播给社会大众,只是碍于当时的社会情势,才不得不成立这样的秘密社团。
这种学派作风维持了相当长的时间,据说在公元前4世纪左右,社团成员希帕索斯(Hippasus)将正十二面体定理加入毕达哥拉斯的命题目录里。不过,他将无理数的研究泄露给外人,得罪了社团成员,因此受了私刑一被溺死在大海里。由此可知那个时代是多么恐怖
勾股定理,从庭院石板而来?
在这样的时代背景下,勾股定理究竟是毕达哥拉斯自己发现的,还是他门下弟子研究发现的,仍值得探讨。
有一种说法是,这个定理是毕达哥拉斯自己发现的,
机缘是有一天他到友人家拜访时,看到庭院铺设的石板,等腰直角三角形斜边上的正方形面积,等于直角两旁两个正方形面积的总和,据说自毕达哥拉斯注意到这一点后,他才针对直角三角形进行研究。只是,此种说法是否属实就不得而知了。
另有一说为,毕达哥拉斯从埃及人那里学到3 4=5,而且在由3、4、5这三边构成的三角形中,其中一角会是直角。
许多学者认为毕达哥拉斯就是从这个理论中得到灵感,进而推演出毕式定理的,也许此种说法才是最正确的。另外,有一本书甚至记载,当毕达哥拉斯发现这个定理时,高兴得手舞足蹈,并为了感谢缪斯女神(希腊神话中科学、艺术女神的总称),献上了百头牛以供奉祭祀。
不过,毕氏学派的人相信灵魂轮回转世,应该不会做出斩杀百头牛这种血流成河的残忍之事,所以也有学者认为这是后世虚构的故事。总而言之,从两千多年前到现在,这个重要的定理已由无数的数学家尝试过无数种证法,并得到各种证明此定理成立的证据,只是当初发现这个定理的人究竟用了哪种方法来证明,至今无从知晓。现今教科书上的证明法,据说是出自欧几里得之手。