悬链线方程——数学史上的难题之一,伽利略没能求出,难在哪里?
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    一个完美均匀且灵活的平衡链被它的两端悬挂,并只受重力的影响,这个链子形成的曲线形状被称为悬链线。1690年,荷兰物理学家、数学家、天文学家、发明家克里斯蒂安·惠更斯(Christiaan Huygens)在给德国著名博学家戈特弗里德·莱布尼茨(Gottfried Leibniz)的一封信中创造了这个名字。

    悬链线与抛物线相似。意大利伟大的天文学家、物理学家和工程师伽利略是第一个研究悬链线的人,并错误地将其形状认定为抛物线。1691年,莱布尼茨、惠根斯和瑞士数学家约翰·伯努利分别得出了正确的形状。他们都是为了响应瑞士数学家雅各布·伯努利(约翰的哥哥)提出的一项挑战,即得到“悬链线”方程。

    • 图1:从左到右分别是雅各布·伯努利,戈特弗里德·莱布尼茨,克里斯蒂安·惠更斯和约翰·伯努利

    莱布尼茨和惠更斯发给雅各布·伯努利的图如下所示。他们发表在《博学学报》上,这是欧洲德语国家的第一份科学期刊。

    • 图1:莱布尼茨和惠更斯提交给雅各布·伯努利的答案。

    约翰·伯努利很高兴,他成功地解决了他哥哥雅各布没能解决的问题。27年后,他在一封信中写道:

    我哥哥的努力没有成功。就我而言,我更幸运,因为我发现了这个问题的答案。对于我当时的年龄和经验来说,这是一个巨大的成就。……我满心欢喜地跑到哥哥那里,他一直在苦苦地与这个难题作斗争,却没有任何进展,总是像伽利略一样认为这个链线是一个抛物线。我对他说,不要再折磨自己了,不要再试图用抛物线来寻求悬链的方程了,因为那是完全错误的。——约翰·伯努利

    求悬链线方程

    为求悬链线方程,作以下假设:

    • 悬链悬挂在两点之间,靠自身重量悬挂。
    • 悬链是灵活的,有一个统一的线性重量密度(等于w_0)。

    为了简化代数上的繁琐,我们让y轴通过曲线的最小值。从最小值到点(x, y)的线段长度用s表示。作用在线段上的三个力分别为张力T_0和T以及它自身的重力w_0s(见下图)。前两个力与悬链相切。

    • 图2:此图包含计算中使用的参数和变量。

    要使每一段在水平和垂直上达到平衡,必须满足以下两个条件:

    • 式1:长度为s的悬链的平衡条件。

    我们需要解的微分方程是:

    • 式2:我们要解的微分方程。

    现在我们要把这个方程写成y和x的形式。我们首先对它求导得到:

    • 式3:式2的导数。

    ds/dx的导数可以用dy/dx表示如下:

    • 式4
    • 图3:式4中使用的无穷小三角形

    则式3为:

    • 式5:悬链线微分方程。

    为了快速求解式5,我们引入以下变量:

    • 式6:解方程5时u的定义

    利用式6,式5变成:

    • 式7:用变量u表示式5。

    这个方程可以通过变量分离和一个简单的三角代换(u = tan θ)来积分:

    • 式8:积分后的式7。

    因为y轴经过曲线的最小值:

    • 式9:变量u在曲线的最小值处为零。

    将式9代入式8得到:

    • 式10:用式9求出式8中的c。

    将c=0代入式8,求解u,得到:

    • 式11:方程5的解,得出了悬链线方程。
    • 图4:三个悬链的例子。

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